Wie es auch geht. Wir beschäftigen uns heute mit Drehzeugern oder auch allgemein mit der Euler

Rodriguez Formel. Wir haben heute ein paar Aufgaben dazu vor, vor allem die Aufgabe 15,

die ist jetzt hier schon gezeigt. Letztendlich geht es in der Aufgabe darum, dass man zeigt,

dass die Rodriguez Formel, die hier gezeigt ist, eben identisch ist zu der, die man in der Vorlesung,

in Abhängigkeit vom Drehzeiger, kennengelernt hat und gleichzeitig die beiden Rodriguez Formeln

äquivalent zur Exponentialreihe, die hier oben dargestellt ist. Es spricht die Exponentialfunktion

von der Matrix, das gleiche unendliche Potenzreihe von der Matrix. Das wollen wir heute besprechen

und nachrechnen. Hier in der Aufgabe, letztendlich wie es ist, das Vorgänger um das zu zeigen,

hier in der Aufgabe steht schon Sinus x durch x und 1 minus Cosinus durch x. Das sind die beiden

Terme, die ja in der Rodriguez Formel vorkommen und letztendlich schauen wir uns erstmal die

Reiendarstellungen von den Termen an und dann schauen wir uns die zweite Zutat an,

die schiefsymmetrische Matrix. Letztendlich durch die Eigenschaften von dieser schiefsymmetrischen

Matrix und denen von den trigonometrischen Funktionen unten, können wir zeigen, dass

die beiden Darstellungen äquivalent sind. Wir arbeiten die Tipps, die unten angegeben sind,

ab und schauen, was uns auffällt. Wenn Ihnen kalt wird, können wir auch wieder die Fenster

zu machen. Danke.

Letztendlich, warum wollen wir eigentlich die Rodriguez Formel im Vergleich zur Exponentialreihe

möglichst verwenden? Naja, die unendliche Reihe ist schlecht zum Handhaben und letztendlich unser

wirkliches Ergebnis konvergiert erst nach dementsprechend vielen Gliedern von der Reihe.

Das heißt, wir können nicht einfach nach nur einem linearen oder nach einem quadratischen

Glied abbrechen, sondern wir müssen viel, viel mehr berechnen, damit wir wirklich auf unser

Ergebnis kommen. Und deswegen ist die Rodriguez Formel als geschlossener Ausdruck wesentlich

besser, um Rotationen darzustellen, statt unendlich viele oder möglichst viele Terme auszuwerten.

Das heißt, ich schreibe jetzt erstmal für den Sinus und den Cosinus, jeweils die Funktionen,

die wirklich in der Angabe stehen, die Reihenentwicklung hin. Diese Reihenentwicklungen,

die stehen zum Beispiel in der schwarzen Formelsammlung oder man kann sie online

dementsprechend nachschlagen. Das ist etwas, was wir jetzt nicht nachrechnen wollen. Das kommt aus

den Mathevorlesungen, das schaut man besten nach, immer jeweils.

Letztendlich zu den beiden Termen haben wir jetzt nicht Sinus, sondern Sinus x. Das wiederum

kann man jetzt entweder nachschauen, wenn man es findet, oder man kann sich selber überlegen,

wie das Ganze ausschauen muss. Letztendlich teilen wir hier durch x, dann nehmen wir von

der Reindarstellung, von den Potenzen hier die eine weg, dann haben wir es auch schon

dastehen, was wir brauchen. Hingegen beim Cosinus wollen wir 1 minus Cosinus von x,

durch x haben. Müssen wir jetzt einerseits aufpassen, wenn wir jetzt nicht minus das

Ganze haben und jeweils hier das Ganze 1 minus haben, dann müssen wir den Ausdruck uns genau

überlegen, was damit passiert. Dann müssen wir jetzt letztendlich minus 2 schreiben. Und

das Vorzeichen dreht sich durch das Minus natürlich auch um. Das bekommen wir hin,

indem wir hier bei 1 anfangen nur, damit der Nullterm nicht da ist. Und wir haben hier

direkt ein N plus 1, weil sich das Vorzeichen logischerweise vom Cosinus ändert. Und x

hoch 2N minus 2 hier. Der Vorteil von den Funktionen ist jetzt, dass die eben nicht bei x gleich

Null Singulär sind. Wenn wir uns das jetzt anschauen, haben wir hier eigentlich immer

durch x dastehen, aber wenn man sich jetzt den Grenzwert gegen Null anschaut von den

beiden, kann man mit dem Satz von Lobital nachweisen, dass eben das Ganze nicht gegen

unendlich, sondern gegen einen festen Wert konvergiert. Deswegen können wir die mal

hinmalen hier, wie die ungefähr ausschauen. Das heißt, hier für Sinus x durch x ist der

bei Null, also bei x gleich Null ist der 1. Und bleibt auch begrenzt gegen x gegen unendlich,

dann wird die Werte immer kleiner durch letztendlich den Abfall mit x. Und für den anderen Term

können wir uns das anschauen mit 1 minus Cosinus von x durch x. Der ist bei x gleich

Null und wird auch gegen x gegen unendlich beschränkt und man bekommt immer kleinere Werte. Okay, so viel zu den trigonometrischen Funktionen, die Terme mit geteilt durch x.

Wenn wir jetzt unsere darstellende Matrix anschauen. Hier die Matrix, die gegeben ist, ist eine schiefsymmetrische